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今天我向大家介绍一下《几何原本》比较特别的二倍角定理以及如何只用尺规作正五边形。
二倍角定理是《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第10个命题，在二倍角定量后面的4个命题都是有关正五边形的命题证明，都需要用到二倍角定理。
下面是二倍角定量的证明过程:
命题10:作一个等腰三角形，使它的每个底角是顶角的二倍。证明:
1、任取一条线段AB，在AB上取一点C，使以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积。（第2卷命题11）具体详见我的文章。
2、以A为圆心、AB为半径作圆BDE 。
3、作圆BDE的拟合线BD，使BD=AC 。（第4卷命题1）
4、连接AD和DC，作三角形ACD的外接圆ACD 。（第4卷命题5）
5、因为以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以CA为边的正方形面积，AC=BD，所以以AB和BC为边所构成的矩形面积等于以BD为边的正方形面积，于是BD与圆ACD相切。（第3卷命题37）
6、因为BD与圆相切，DC是过切点D的圆的拟合线，所以角BDC等于相对弓形上的角DAC 。（第3卷命题32）
7、因为角BDC=角DAC，两边同时加上角CDA，所以角BDA=角CDA+角DAC 。
8、又因为外角BCD=角CDA+角DAC（第1卷命题32），所以角BDA=角BCD 。
9、又因为AB=AD，所以角BDA=角CBD 。（第1卷命题5）
10、所以角BCD=角CBD，于是DB=DC 。（第1卷命题6）
11、又因为BD=CA，所以DC=CA，所以角CDA=角CAD（第1卷命题5）
12、所以角CDA与角CAD的和是角DAC的二倍，又角BCD=角CDA+角CAD，于是角BCD是角DAC的二倍。
13、又因为角BCD=角BDA=角DBA，所以角BDA和角DBA都是角DAB的二倍。
14、所以等腰三角形ABD的底边BD上的每个角都是顶角的二倍。
证明完毕。
以下是作图过程：
步骤1：任取一条线段AB，延长BA至a 。
步骤2：以A为圆心，AB为半径作圆与Ba相交于b，此时bA=AB 。
步骤3：去除多余的辅助线，此时bA=AB 。
步骤4：以b为圆心，bB为半径作圆；以B为圆心，Bb为半径作圆。两圆相交于c、d，连接cd与bB相交于A点。
步骤5：去除多余的辅助线。
步骤6：以A为圆心，AB为半径作圆，交Ad于e 。分别以e、B为圆心，eA、BA为半径作圆，两圆交于f，连接ef、fB 。
步骤7：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形。
步骤8：以A为圆心，Ae为半径作圆；以e为圆心，eA为半径作圆，连接两圆交点所形成的直线与Ae相交于g点。
步骤9：去除多余的辅助线，此时AefB是正方形，g是Ae中点。
步骤10：延长eA至h，以g为圆心，gB为半径作圆，圆与eh相交于i 。
步骤11：去除多余辅助线。
步骤12：以A为圆心，Ai为半径作圆，圆与AB相交于C 。
步骤13：以A为圆心，AB为半径作圆；以B为圆心，AC长度为半径作圆，两圆相交于D 。
步骤14：连接AD、CD、BD 。
步骤15：去除多余辅助线，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A 。此时我们已经完成了作图任务。
步骤16：以D为圆心，DA为半径作圆，两圆相交于j、k，连接jk 。
步骤17：以A半径，AC为圆心作圆；以C为圆心，CA为半径作圆，两圆相交于im 。连接im，im与jk相交于n 。
步骤18：去除多余辅助线。
步骤19：以n为圆心，nC为半径作圆ACD 。
步骤20：去除多余的辅助线，，此时在三角形ABD中，角ABD=角ADB=2角A，BD与圆ACD相切于D点。
命题11:作给定圆的内接五边形，该五边形等边且等角。已知ABCDE是给定圆。
目标:作圆ABCDE的内接等边且等角的五边形。
证明:
1、作一个等腰三角形FGH，使角G和角H都是角F的二倍。（第4卷命题10）
2、在圆ABCDE内作内接三角形ACD，使它与三角形FGH等角，即角CAD=角F，角ACD=角G，角ADC=角H 。（第4卷命题2）
3、所以角ACD和角ADC都是角CAD的二倍。
4、作角ACD和角ADC的角平分线，分别为CE和DB 。（第1卷命题9）
5、连接AB、BC、DE和EA 。
6、因为角ACD和角ADC都是角CAD的二倍，且直线CE和DB平分两角，所以角CAD=角ACE=角ECD=角CDB=角BDA 。
7、又因为相等的角所对的弧也相等（第3卷命题26），所以五条弦AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。（第3卷命题29）
8、因此五边形ABCDE是等边的。
9、因为弧AB=弧DE，两边同时加上弧BCD，所以整个弧ABCD=整个弧EDCB，又因为角AED是弧ABCD所对的角，角BAE是弧EDCB所对的角，所以角AED=角BAE 。（第3卷命题27）
10、同理，可证角AED=角BAE=角ABC=角BCD=角CDE 。
11、所以五边形ABCDE是等边且等角的。
证明完毕。
以下是作图过程：
步骤1：作任意一条直线，与已知圆相交于a、b 。
步骤2：以a为圆心，ab为半径作圆，以b为圆心，ba为半径作圆。
步骤3：连接两圆的两个交点，延长并与已知圆相交于c、C，此时cC是已知圆的直径。
步骤4：去除多余的辅助线，此时cC是已知圆的直径。
步骤5：以C为圆心作任意圆，该圆与cC所在直线相交于e、f 。
步骤6：以e为圆心，ef为半径作圆，以f为圆心，fe为半径作圆。连接两圆交点与已知圆相切于C点。
步骤7：去除多余辅助线，延长已知圆切线两边至h、i 。
步骤8：获取命题10中的图形，去除多余的辅助线，将三角形ABD重命名为FHG，于是角H=角G=2角F 。
步骤9：以C为圆心，以给定三角形FGH的边FG（或FH）长度为半径作圆（浅蓝色）与hi右侧交于j点。
步骤10：以j为圆心，以给定三角形FGH的边HG长度为半径作圆（深蓝色）与浅蓝色圆上部相交于k点。
步骤11：连接Ck与已知圆相交于D点，连接kj 。此时三角形Ckj全等于三角形FHG，于是角kCj=角F 。
步骤12：去除多余辅助线，此时角DCi=角F 。
步骤13：以C为圆心，以给定三角形FGH的边HG长度为半径作圆（浅蓝色）与hi左侧交于l点。
步骤14：以l为圆心，以给定三角形FGH的边FG长度为半径作圆（深蓝色）。
步骤15：以C为圆心，以给定三角形FGH的边FH长度为半径作圆（粉红色）与深蓝色圆上部相交于m点。
步骤16：连接Cm、lm 。此时三角形mCi全等于三角形FHG，于是角mCl=角H 。
步骤17：去除多余辅助线，角mCh=角H 。
步骤18：延长Cm与已知圆相交于A，此时角D=角ACh=角H，角A=角DCi=角F，角ACD=角G 。于是角D=角ACD=2角A 。
步骤19：以C为圆心作任意圆与CA、CD相交于n、o两点。
步骤20：以n为圆心，nC为半径作圆；以o为圆心，oC为半径作圆。连接两圆交点，交点连线经过C点且平分角ACD 。
步骤21：延长两圆交点连线与已知圆相交于点E，去除多余辅助线，CE平分角ACD 。
步骤22：以D为圆心作任意圆与DA、CD相交于p、q两点。
步骤23：以p为圆心，pq为半径作圆；以q为圆心，qp为半径作圆。连接两圆交点，交点连线经过D点且平分角ADC 。
步骤24：延长两圆交点连线与已知圆相交于点B，去除多余辅助线，DB平分角ADC 。
步骤25：连接AB、BC、AE、ED，此时ABCDE是圆的内接正五边形。
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